Soluciones exactas a problemas de Stefan con coeficientes térmicos variables y aproximaciones a través de métodos de balance integral

Abstract

En esta Tesis, se obtienen soluciones exactas de tipo similaridad de diferentes problemas de Stefan a una o a dos fases, sobre medios unidimensionales semi-infinitos, homogéneos e isotrópicos con la característica principal de considerar el calor especifico y la conductividad térmica variables y dependientes de la temperatura, los cuales en los problemas clásicos de Stefan son considerados constantes. Además, se hallan soluciones analíticas aproximadas a algunos casos particulares de estos problemas a través de métodos de balance integral y se comparan estas soluciones aproximadas con la solución exacta de cada uno de los problemas. En el Capítulo 1 se presenta una introducción de esta Tesis. Se hace una breve descripción de los problemas de Stefan clásicos a una y a dos fases. Además, se indica la importancia, desde el punto de vista de la Termodinámica, de considerar a los coeficientes térmicos variables. También, se explicitan los métodos de balance integral para aproximar soluciones a problemas de Stefan unidimensionales a una fase. Por _último se detallan los problemas que se estudian en cada uno de los capítulos. En el Capítulo 2 se consideran problemas de Stefan unidimensionales a una fase para la fusión de un material semi-infinito con conductividad térmica y calor especifico dependientes de la temperatura. Se obtienen soluciones exactas de tipo similaridad imponiendo una condición de tipo Dirichlet, una condición de tipo Neumann o una condición de tipo Robin en el borde _fijo. Además, se estudia el comportamiento asintótico del problema con condición de tipo Robin y se muestran algunos ejemplos computacionales de los resultados obtenidos. En una segunda parte, se estudian problemas de conducción de calor que surgen de problemas de Stefan unidimensionales a una fase para la solidificación de un material semi-infinito con conductividad térmica dependiente de la temperatura en los que se impone una condición de tipo Dirichlet o una condición de tipo Robin en el borde fijo. Se prueba la existencia y unicidad de solución de los mismos obteniéndose la denominada función de error modificada p-generalizada. Por _último, se estudia el comportamiento asintótico del problema con condición de tipo Robin. Los resultados obtenidos en este capítulo han sido publicados en [22] y [23]: J. Bollati, M. F. Natale, J. Semitiel y D. A. Tarzia. Existence and uniqueness of solution for two one-phase Stefan problems with variable thermal coe_cients. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 51:103001, 2020. J. Bollati, M. F. Natale, J. Semitiel y D. A. Tarzia. Existence and uniqueness of the p-generalized modi_ed error function. Electronic Journal of Di_erential Equations, 1-11, 2020. En el Capítulo 3 se estudia la existencia y unicidad de solución de tipo similaridad de problemas de Stefan unidimensionales a una fase para la fusión de un material semi-infinito gobernados por una ecuación no clásica y no lineal del calor con diferentes tipos de fuentes de calor. En dichos problemas, se asume una condición de tipo Dirichlet en el borde fijo y, la conductividad térmica y el calor especifico son variables y dependientes de la temperatura. Los resultados de este capítulo han sido publicados en [25]: J. Bollati, M. F. Natale, J. Semitiel y D. A. Tarzia. Exact solution for non-classical one-phase Stefan problem with variable thermal coe_cients and two di_erent heat source term. Computational and Applied Mathematics, 41:375, 2022. En el Capítulo 4 se consideran dos tipos de problemas de Stefan unidimensionales a dos fases en un dominio angular para la solidificación de un material semi-infinito con conductividad térmica y calor especifico dependientes de la temperatura. Se obtienen soluciones exactas de tipo similaridad imponiendo condiciones de borde de tipo Dirichlet o de tipo Neumann. También, se le impone al problema con condición de tipo Dirchlet una sobrecondición de tipo Neumann y se determinan coeficientes desconocidos en el proceso de cambio de fase donde se obtienen fórmulas para los mismos bajo ciertas condiciones necesarias y suficientes sobre los datos del problema planteado. Los resultados de este capitulo han sido aceptados para su publicacion [26]: J. Bollati, M. F. Natale, J. Semitiel y D. A. Tarzia. Determination of one unknown coe_cient in a two-phase free boundary problem in an angular domain. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 531:127775, 2024. Por último, en el Capítulo 5, se hallan diferentes aproximaciones a problemas de Stefan unidimensionales a una fase correspondientes al proceso de fusión de un material semi-infinito a través de tres métodos: balance integral clásico, balance integral modificado y balance integral refinado. El primer problema considerado está gobernado por la ecuación clásica del calor en el que se le impone una condición de tipo Robin o de tipo Dirichlet en el borde fijo. El segundo problema está definido por una ecuación no clásica del calor con una fuente externa que depende de la evolución del flujo de calor en el borde fijo donde se asumen los coeficientes térmicos constantes y se impone una condición de tipo Dirichlet o de tipo Robin en el borde fijo. El tercer problema está dado por una ecuación no clásica del calor donde se asume la conductividad térmica no lineal, dependiente de la temperatura, y en el que se impone una condición de tipo Dirichlet en el borde fijo. Del hecho de conocer las soluciones exactas de los problemas planteados, permiten comparar con las soluciones aproximadas analíticas al aplicar el método de balance integral y sus dos variantes, analizando el error cometido en cada caso. Los resultados obtenidos en este capitulo han sido publicados en [21], [24] y [27]: J. Bollati, J. Semitiel y D. A. Tarzia. Heat balance integral methods applied to the one-phase Stefan problem with a convective boundary condition at the _xed face. Applied Mathematics and Computation, 331:1-19, 2018. J. Bollati, M. F. Natale, J. Semitiel y D. A. Tarzia. Integral balance methods applied to non-classical Stefan problems. Thermal Science, 24:1229-1241, 2020. J. Bollati, M. F. Natale, J. Semitiel y D. A. Tarzia. Approximate solutions to the one-phase Stefan problem with temperature-dependent thermal conductivity, Chapter 1, In Heat Conduction: Methods, Applications and Research, pages 1-20. J. Hristov - R. Bennacer (Eds.), Nova Science Publishers, Inc., 2019. iii